फलन f(x) = frac{x}{1 + |x|}, x in R का परिसर | vedclass

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Question

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{1 + |x|}$ जहाँ $x \in R$ है।स्थिति $1$: यदि $x \ge 0$ है,तो $|x| = x$ होगा।$f(x) = \frac{x}{1 + x} = \frac{x + 1 - 1

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$(-1, 1)$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{1 + |x|}$ जहाँ $x \in R$ है।स्थिति $1$: यदि $x \ge 0$ है,तो $|x| = x$ होगा।$f(x) = \frac{x}{1 + x} = \frac{x + 1 - 1}{1 + x} = 1 - \frac{1}{1 + x}$।जैसे-जैसे $x$ का मान $0$ से $\infty$ तक बढ़ता है,$1 + x$ का मान $1$ से $\infty$ तक बढ़ता है,इसलिए $\frac{1}{1 + x}$ का मान $1$ से $0$ तक घटता है।अतः,$f(x)$ का मान $0$ से $1$ तक बढ़ता है। इसलिए,$x \ge 0$ के लिए परिसर $[0, 1)$ है।स्थिति $2$: यदि $x $f(x) = \frac{x}{1 - x} = \frac{-(1 - x) + 1}{1 - x} = -1 + \frac{1}{1 - x}$।जैसे-जैसे $x$ का मान $0$ से $-\infty$ तक घटता है,$1 - x$ का मान $1$ से $\infty$ तक बढ़ता है,इसलिए $\frac{1}{1 - x}$ का मान $1$ से $0$ तक घटता है।अतः,$f(x)$ का मान $0$ से $-1$ तक घटता है। इसलिए,$x दोनों स्थितियों को मिलाने पर,फलन का परिसर $(-1, 0) \cup [0, 1) = (-1, 1)$ प्राप्त होता है।

फलन $f(x) = \frac{x}{1 + |x|}, x \in R$ का परिसर (range) है

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फलन $y=f(x)$ का प्रांत (domain) ज्ञात कीजिए,जहाँ $x$ और $y$ का संबंध $2^x+2^y=2$ द्वारा दिया गया है।

यदि फलन $f(x) = \cos^{-1}\left(\frac{2-|x|}{4}\right) + (\log_e(3-x))^{-1}$ का प्रांत (domain) $[-\alpha, \beta) \setminus \{\gamma\}$ है,तो $\alpha + \beta + \gamma$ का मान ज्ञात कीजिए:

$y = \sqrt{\log _{10} \frac{3x - x^2}{2}}$ का प्रांत (Domain) है

मान लीजिए कि फलन $f(x) = \log_3 \log_5 (7 - \log_2 (x^2 - 10 x + 85)) + \sin^{-1} ( | \frac{3 x - 7}{17 - x} | )$ का प्रांत $(\alpha, \beta]$ है। तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए:

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